Álgebra lineal Ejemplos

$3 x - y = 9$ , $- 6 x + 2 y = - 18$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & 9 \\ - 6 & 2 & - 18 \end{array}]$

Paso 2

Reduce la fila para eliminar una de las variables.

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Paso 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{9}{3} \\ - 6 & 2 & - 18 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 3 \\ - 6 & 2 & - 18 \end{array}]$

Paso 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 3 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 2 + 6 (- \frac{1}{3}) & - 18 + 6 \cdot 3 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x - \frac{y}{3} = 3$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 4.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y}{3} = 3 - x$

Paso 4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 4.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - 3 (3 - x)$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica $- 3 (3 - x)$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 3 \cdot 3 - 3 (- x)$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$y = - 9 - 3 (- x)$

Paso 4.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = - 9 + 3 x$

Paso 4.4

Reordena $- 9$ y $3 x$ .

$y = 3 x - 9$

Paso 5

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(x, 3 x - 9)$

Paso 6

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 3 x - 9 \end{array}]$